和尚、理系について説く

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物体の落下:万有引力み~っけ!

お久しぶりです。和尚です。かれこれ半年以来の登場になります。

今回は物体の落下について説明したいと思います。

 

ニュートンさんが見つけたこと

物体が落下するときに働く力のことを重力といいます。

この重力の逸話で有名な方が居られます。皆さんご存知のはずですよ。

そう、かのガリレオ・ガリレイさんです。

え? アイザック・ニュートンさんじゃないのか?って。

いやだなぁ、ニュートンさんが見つけたのはその重力を発展させた万有引力というものですよ。

重力=物が地面に引っ張られる力というものは、結構昔から発見されています。確か古代ギリシャぐらいにはあったんじゃないかな? 理由としては哲学的なものが多かったと思いますが。

 

ガリレオさんがやったのはピサの斜塔からの物体落下の実験。

鉄球と木の玉を同時に落としたとき、地面に到達する時間は一緒』というものです。

空気抵抗とかあるんで地上じゃ完璧同時とはいかなかったと思いますが、今までの『重い物体の方が早く地面に到達する』という常識を打ち破ることとなりました。

 

ニュートンさんは木から落ちたリンゴを見て万有引力について発見したとありますが、ではこの万有引力とは一体何なんでしょうか?

 

この万有引力について、中二病っぽく言うと『この世に存在するあまねく物体――原子、分子、水、山、大地、生物、人、果ては星に至るまで。質量と呼ばれるマテリアルを持つこれらは、久遠の彼方、どれだけ遠くに離れていようと、互いに引き寄せあう性質を持っているのだ』というものです。ご理解いただけたでしょうか?

 

もっと噛み砕いていうと『大きさ・距離を問わず、物体と物体との間には、引き寄せあう力が働いている』というものです。

 

この万有引力に従えば、月だろうが、太陽だろうが、冥王星だろうが、これらは地球に引っ張られてるし、逆に地球が引っ張られてるということになるわけです。

 

今から数世紀も前の段階で、ニュートンさんは地球を飛び出すような代物に気付いたわけです。

が、そもそもなんでニュートンさんはたかがリンゴが落ちた程度で、こんな発想をしたのでしょうか?

実はこのときニュートンさんはこうも思ってたらしいです。

なんで月は落ちへんのやろ?

と。

 

そこから色々紆余曲折を経て(研究とかいろいろ)、彼は『二つの物体の間に働く万有引力は、二つの物体の質量に比例し、物体間の距離に反比例する』という法則を発見しました。

簡単に言えば、『物体が重ければ重いほど引力は強くなるけど、遠くなるほど弱くもなる』というもの。

 

この物体の万有引力を以下の式で表しました。

 

F=G×M×m/(r^2)……(1)

 

F:万有引力の大きさ(kg×m/s^2)

G:万有引力定数(実験で求めた値である、単位はm^3/s^2/kg)

M,m:二つの物体の質量(kg)

r:物体間の距離(m)

となる。

 

そしてこれを使えば、物体の落下の運動方程式を描くことが出来るのです!

 

重力加速度

ではここでニュートンさんの立場になって、リンゴが落下した時の運動方程式について考えましょう。

(1)の式において、Mを地球、mをリンゴの質量としましょう。この場合、rは地球の半径となります(なぜそうなるのかという説明は後日)。

今回考えるのは落下についての運動方程式。なので直線運動となります。

その場合、ニュートン運動方程式F=a×m……(2)を使うことが出来ます。

(下のリンク先でも説明しているけど、分かりづらいかも)

力学:ニュートンの運動方程式F=a×mが示す意味 - 和尚、理系について説く

 

 

(1)に(2)を代入するとこうなります。

a×m=G×M×m/(r^2)……(3)

これがリンゴ、引いては物体が落下した時の運動方程式となります。

 

これは実をいうと、地球上に存在する全ての物体の引力を現したものとなるのです。

 

何故かというと、(3)の両方の項にあるリンゴの質量mを除外すると、

 

a=G×M/(r^2)……(4)

 

となります。このうちGは万有引力定数なので定数。地球の質量Mも定数。地球が真球だと仮定すれば半径もまた、定数。

全てが定数となるので、加速度aもまた定数になります

 

この時求められる加速度こそが、重力加速度と呼ばれるものです。

この重力加速度は地球上の全ての物質に平等に働いているのです。

 

ではここで重力加速度を求めましょう。

(以下計算なので出来るという人はスクロールしてよし)

 

地球の質量Mを6×10^24kg、半径を6400km

万有引力定数を6.67×10^(-11)m^3/s^2/kgとします(wikipelia引用)。

 

まずkmをmに換算しましょう。

1km=1000mなので、6400km=6400×1000m

6400×1000=6.4×10^6 (m)

 

これを二乗すると、

(6.4×10^6)^2=40.96×10^12=4.096×10^13 (m^2)……(5)

 

分子にある万有引力定数の10^(-11)を分母に持ってきて、(5)の10^13と合体させると、分母に10^24が出来ます。

 

これで分子にある地球の質量Mの10^24を打ち消すことが出来ます。

 

よって計算式は6.67×6/4.096となります。

計算すると9.77≒9.8となります。

 

単位は分母と分子が打ち消し合い、(m/s^2)となり、見事加速度となりました。

 

よって、地球上の重力加速度は9.8ということが判明しました。

 

今回のまとめ

ニュートンさんが見つけたのは、重力ではなく万有引力

万有引力の式はF=G×M×m/(r^2)

・上の式を計算してみた結果、地球上の重力加速度は9.8

今回は以上です。

ありがとうございました。