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和尚、理系について説く

間違って理系に入ってしまった僕が語る、理系についての知識、考えなどなど。間違っている可能性があるのでお気を付けを。見つけた方はご一報をください。

微分と加速度

こんにちは。和尚です。

今回は『加速度』と『微分』について説明します

まず 微分というのは、導関数によって導かれた式です。

 

もっと分かりやすく言え馬鹿野郎、という言葉が聞こえそうです。ごもっとも。

正直自分も、なんじゃそりゃという感じでした。

 

まず導関数って何だ? と思われるかもしれません。

下の式をご覧ください。

 

f(x)はy=f(x)という関数です。limは下のΔxが限りなく0に近づく(Δxが無限小になる)ことを示しており、その無限小Δxで、f(x+Δx)-f(x)を割るということです。このとき分子もΔx分だけ増加した関数f(x)なので、これは分子分母ともに無限小であると言うことです。これによって導かれた関数f’(x)が導関数であり、これをまたf(x)の微分とも言います。

 

例を挙げます。ここでf(x)=x^2とします。y=f(x)=x^2となります。

ここで右辺の分子はf(x+Δx)-f(x)=(x+Δx)^2-x^2となります。

展開すると、(x+Δx)^2-x^2=x^2+2*x*Δx+Δx^2-x^2=2*x*Δx+Δx^2

となります。

ここで分母Δxで分子を割ります。

(2*x*Δx+Δx^2)/Δx=2x+Δx

となります。

ここでlimによってΔxが無限小、つまり限りなく0に近くなります。ここでΔxは0としてみなします。数学ではそれをしてよいとなっておりますので、躊躇なくΔx=0として扱いましょう。

2x+Δx=2x+0=2x

これにて導関数f’(x)=2xが成り立ちました。 これが微分であり、またこの操作を『関数f(x)をxで微分した』などと表現します。

 

この流れ前にも見たことあるぞという方が居られますでしょうか。

 

osyousama.hatenadiary.com

 ↑こちらのほうの最後の部分にも、同じような内容の式を書いております。そのときは瞬間の速度の求め方でしたが、その式と今回紹介した微分の式は同じものです。

 

つまり、瞬間の速度は、微分によって作られるものなのです

↑の記事では、総移動距離mは、時間tに関連して、m=t^2として表していました。

時間の二乗が移動距離そのものになるよう定義しました。

この場合の速度vはv=m/t=t^2/t=tとなります。

 

瞬間の速度は微分したものだと式から判断できますが、では一体何を何で微分したものなのか?

      f:id:osyousama:20151218231618p:plain

これが以前の記事で使った、瞬間の速度を求めるための式です。上の式と違うと思われた方もいるかもしれませんが、Δm=(t+Δt)^2-t^2として表しています。

xとtという使っている文字の差はあれど、右辺の形は上の式と同じだと言うことが分かります。

 

何で微分したかは分母を見れば一目瞭然。今回で言えばtです。

何を微分したかはですが、こちらも分子を見れば分かります。 そうmです。

つまり瞬間の速度は、移動距離mを時間tで微分したものなのです。

最初の式と同じなので、tに任意の数字を入れると、その時間での瞬間の速度が判明します。

 

ここで注目してもらいたいのは、左辺と右辺の単位です。

瞬間の速度なので、左辺は勿論[距離/時間]です。

右辺も無限小のmを、無限小のtで割っている、つまり距離を時間で割っているのですから、当然[距離/時間]になります。

 

ここで物凄く噛み砕いて言えば、微分というのは、ただ単にものすっごい数値が小さい数字同士の割り算なのです。

割り算だから、距離÷時間をして速度を求めているわけです。

微分というのはそういうものなのです。

 

よく微分の式ではy=f(x)のとき、f’(x)=dy/dxという表現を使っていますが、要はものすっごい小さなy、つまりf(x)をxで割っているというのをそのまま表しているのです。dというのは、まあ限りなく小さな値だと思えば大丈夫です。

 

これは数学者からすると、間違った解釈に当たるそうです。なのでもし大学で数学科に入っていたり、志望しているかたが居られるなら、これは忘れてください。

ただそれ以外の、数学はあくまで問題を解くためのツールとして扱う学科や学部に入る方なら、この認識で大丈夫です。

 

そして微分を一般式にすると、f(x)=ax^nという関数がある場合、その微分f’(x)は以下の様に書かれる。

         f’(x)=a*n*x^(n-1)

このときaはxの係数で、またaとnは定数です。

 

さて、そういう認識を得た皆様に質問いたします。

ある時間での瞬間の『加速度』を求める方法についてです。

 

加速度というのはその言葉のとおり、単位時間当たりに、どれだけ速度を上げるのかを示したものになります。

ここで加速度を単位を使って表すと[速度/時間]になります。

 

t=5のときの平均の加速度v’(t)は

 

       v’(t)=v/t=t/t=5/5=1

 

瞬間での加速度の場合、もちろん微分します。

vをv(t)と置き換えると、分子は(t+Δt)t、分母はΔt。

v=v(t)=tなので、分子は(t+Δt)-t=Δtとなる。

 

よって瞬間の速度v’(t)は

    v’(t)=Δt/Δt=1

 

瞬間の加速度も平均の加速度も完全に一致しています。

これは考えてみれば当然ですね。v=tなので、どの時間tでも、t+1のとき、その速度もまたv+1ということです。

これを等加速度運動といいます。常に速度が一定の数だけ加算されることを示します。

 

 

ではここで少し条件を変更して、速度v(t)=t^2とします。

そうなると加速度は、v(t)をtで微分して、v’(t)=2tになります。この場合、時間によって加速度が変わってきます。

このようにして、加速度を求めるには速度を時間で割り、瞬間の速度を求めるには、速度の関数を時間で微分して導いた関数に、その瞬間の時間を代入すればいいのです

 

平均の速度が分かっている場合には、それに時間を掛けると移動距離がそのまま出てきます。

しかし途中で一定の加速度が加わって速度が変わるときの移動距離の場合、この加速度を使って移動距離を求めます。

 

例題を用います。

t=0からt=t1(このt1は定数)という時間では速度v1で一定だったが、t1からt2の間は加速度v’(t)で速度が変わっていった。このときの総移動距離はいくつになるか?

という問題があったとします。

 

t1までは速度一定なので、移動距離はv1×t1です。

t1ーt2間の平均の速度は、t1での速度とt2の速度を足して2で割れば出てきます。t2での速度をv2とすると

t1での速度:v1

t2での速度:v2=v1+(t2-t1)×v’(t)

なのでt1-t2間の平均の速度は

(v1+v2)/2=[v1+v1+(t2-t1)×v’(t)]/2=v1+(t2-t1)/2×v’(t)

 

t2-t1=Δtと 置き換えると、総移動距離mは

m=(v1×t1)+[v1+Δt/2×v’(t)]×Δt

 =v1t1+v1Δt+(Δt^2)/2×v’(t)

 

 となるわけです。あとはこの式に代入していけば、移動距離が出てきます。

 

この加速度は物理の力学ではかなり使うものなので、理解しておかなければなりません。

 

 

 まとめとして、

1.微分とは、無限小同士での割り算である。 

2.加速度は、速度を時間で割ったものである。

3.瞬間の加速度を求めたい場合には、速度を時間で微分すればいい。

 

加速度について分かったので、次回からは『力学』について書いて行こうと思います。