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和尚、理系について説く

間違って理系に入ってしまった僕が語る、理系についての知識、考えなどなど。間違っている可能性があるのでお気を付けを。見つけた方はご一報をください。

はじめに

はじめまして。和尚です。

メインブログで、マンガや映画など趣味について書かせて頂いているものです。

和尚の日記:http://osyousama.hatenablog.com/

 

こちらでは間違って理系に入ってしまった自分が、自分なりに理解した理系の知識について書いていくブログになります。

基本が自分のメモに近い物なので、間違っている、それは違うなどの批判がありましたら、どんどんご注意ください。

物体の落下:万有引力み~っけ!

お久しぶりです。和尚です。かれこれ半年以来の登場になります。

今回は物体の落下について説明したいと思います。

 

ニュートンさんが見つけたこと

物体が落下するときに働く力のことを重力といいます。

この重力の逸話で有名な方が居られます。皆さんご存知のはずですよ。

そう、かのガリレオ・ガリレイさんです。

え? アイザック・ニュートンさんじゃないのか?って。

いやだなぁ、ニュートンさんが見つけたのはその重力を発展させた万有引力というものですよ。

重力=物が地面に引っ張られる力というものは、結構昔から発見されています。確か古代ギリシャぐらいにはあったんじゃないかな? 理由としては哲学的なものが多かったと思いますが。

 

ガリレオさんがやったのはピサの斜塔からの物体落下の実験。

鉄球と木の玉を同時に落としたとき、地面に到達する時間は一緒』というものです。

空気抵抗とかあるんで地上じゃ完璧同時とはいかなかったと思いますが、今までの『重い物体の方が早く地面に到達する』という常識を打ち破ることとなりました。

 

ニュートンさんは木から落ちたリンゴを見て万有引力について発見したとありますが、ではこの万有引力とは一体何なんでしょうか?

 

この万有引力について、中二病っぽく言うと『この世に存在するあまねく物体――原子、分子、水、山、大地、生物、人、果ては星に至るまで。質量と呼ばれるマテリアルを持つこれらは、久遠の彼方、どれだけ遠くに離れていようと、互いに引き寄せあう性質を持っているのだ』というものです。ご理解いただけたでしょうか?

 

もっと噛み砕いていうと『大きさ・距離を問わず、物体と物体との間には、引き寄せあう力が働いている』というものです。

 

この万有引力に従えば、月だろうが、太陽だろうが、冥王星だろうが、これらは地球に引っ張られてるし、逆に地球が引っ張られてるということになるわけです。

 

今から数世紀も前の段階で、ニュートンさんは地球を飛び出すような代物に気付いたわけです。

が、そもそもなんでニュートンさんはたかがリンゴが落ちた程度で、こんな発想をしたのでしょうか?

実はこのときニュートンさんはこうも思ってたらしいです。

なんで月は落ちへんのやろ?

と。

 

そこから色々紆余曲折を経て(研究とかいろいろ)、彼は『二つの物体の間に働く万有引力は、二つの物体の質量に比例し、物体間の距離に反比例する』という法則を発見しました。

簡単に言えば、『物体が重ければ重いほど引力は強くなるけど、遠くなるほど弱くもなる』というもの。

 

この物体の万有引力を以下の式で表しました。

 

F=G×M×m/(r^2)……(1)

 

F:万有引力の大きさ(kg×m/s^2)

G:万有引力定数(実験で求めた値である、単位はm^3/s^2/kg)

M,m:二つの物体の質量(kg)

r:物体間の距離(m)

となる。

 

そしてこれを使えば、物体の落下の運動方程式を描くことが出来るのです!

 

重力加速度

ではここでニュートンさんの立場になって、リンゴが落下した時の運動方程式について考えましょう。

(1)の式において、Mを地球、mをリンゴの質量としましょう。この場合、rは地球の半径となります(なぜそうなるのかという説明は後日)。

今回考えるのは落下についての運動方程式。なので直線運動となります。

その場合、ニュートン運動方程式F=a×m……(2)を使うことが出来ます。

(下のリンク先でも説明しているけど、分かりづらいかも)

力学:ニュートンの運動方程式F=a×mが示す意味 - 和尚、理系について説く

 

 

(1)に(2)を代入するとこうなります。

a×m=G×M×m/(r^2)……(3)

これがリンゴ、引いては物体が落下した時の運動方程式となります。

 

これは実をいうと、地球上に存在する全ての物体の引力を現したものとなるのです。

 

何故かというと、(3)の両方の項にあるリンゴの質量mを除外すると、

 

a=G×M/(r^2)……(4)

 

となります。このうちGは万有引力定数なので定数。地球の質量Mも定数。地球が真球だと仮定すれば半径もまた、定数。

全てが定数となるので、加速度aもまた定数になります

 

この時求められる加速度こそが、重力加速度と呼ばれるものです。

この重力加速度は地球上の全ての物質に平等に働いているのです。

 

ではここで重力加速度を求めましょう。

(以下計算なので出来るという人はスクロールしてよし)

 

地球の質量Mを6×10^24kg、半径を6400km

万有引力定数を6.67×10^(-11)m^3/s^2/kgとします(wikipelia引用)。

 

まずkmをmに換算しましょう。

1km=1000mなので、6400km=6400×1000m

6400×1000=6.4×10^6 (m)

 

これを二乗すると、

(6.4×10^6)^2=40.96×10^12=4.096×10^13 (m^2)……(5)

 

分子にある万有引力定数の10^(-11)を分母に持ってきて、(5)の10^13と合体させると、分母に10^24が出来ます。

 

これで分子にある地球の質量Mの10^24を打ち消すことが出来ます。

 

よって計算式は6.67×6/4.096となります。

計算すると9.77≒9.8となります。

 

単位は分母と分子が打ち消し合い、(m/s^2)となり、見事加速度となりました。

 

よって、地球上の重力加速度は9.8ということが判明しました。

 

今回のまとめ

ニュートンさんが見つけたのは、重力ではなく万有引力

万有引力の式はF=G×M×m/(r^2)

・上の式を計算してみた結果、地球上の重力加速度は9.8

今回は以上です。

ありがとうございました。

 

円運動と角速度

お久しぶりです。和尚です。

かなり間が空いてしまいましたが、今回は円運動と角速度についてざっくり説明していきたいと思います。

続きを読む

等速度運動と等加速度運動:慣性系と非慣性系

直線の運動

この世の中には様々な『運動』があります。この場合の『運動』とは別に体を動かすことではなく、『物の動き方』の事を指しています。ビヨンビヨンと動くバネや振り子、上から下へと流れる水もまた『運動』といえるでしょう。ただ真っ直ぐ動くだけの一次的なものもあれば、そこに横の横の動きが加わった二次元的な『運動』や、さらには高さなども加えた三次元的な『運動』ももちろん存在します。

 

今回は直線的に動く場合の『運動』について書いていきたいと思います。

直線的な『運動』のイメージとしては、長く真っ直ぐな道を走っている車や自転車、電車などを想定してください。一応カーブは厳禁で。

直線の『運動』は物の動きを考える場合の基礎的な部類です。そのためまずはここから噛み砕いて説明していきたいと思います。

 

等速度運動と等加速度運動

基礎的な直線の『運動』といっても、その気になればいくらでも複雑化することはできます。ですのでここはさらに簡単にして、等速度運動等加速度運動について考えていきます。

等速度運動とはその名の通り、『速度が一定である運動』を指します。車で例えるなら常に80km/hの速さで走っているようなものです。

等加速度運動は以前にも説明したかもしれませんが、『加速度が一定である運動』を指します。常に一定の速度だけ加算されていくことを指しているのです。車で言うならば1分毎に1km/h加速していくようなものです。

 

等速度運動の速度が20km/hであるとします。この場合30分走らせれば、移動距離は次の式で表せれます。

 

20(km/h)×0.5(h)=10(km)

 

簡単ですね。小学校で習う問題だと思います。

 

次に等加速度運動の場合。最初の速度が20kmだとしてそこから1分毎に1km/h加速していくとします。

その場合、30分走らせた時の移動距離はどうやって計算するのか?

以前、こちらで方程式は作成しています

微分と加速度 - 和尚、理系について説く

まあでも正直(自分でも)分かりづらいので、書いていきたいと思います。

 

考え方は色々あると思います。例えば1分毎に細分化してその合計値で求める方法。

0分では20km/h、1分経てば21km/h、2分で22km/hというように、その都度速度と移動距離を計算していく方法。

時速を分速に直して考えるのです。

つまり{20/60(km/min)+21/60(km/min)+22/60(km/min)+……+50/60(km/min)}×1(min)=

という方法です。

恐らく誰もそんな方法で解きません。ですがこれでもっと簡易な方法が見えたと思います。

そう、等差数列の和ですね。

 

等差数列の和とは、一定の間隔が開いた(公差)数列の合計を導く方法です。

1,2,3,4……では、1ずつ差が開いた数列。

1,4,7,10……では、3ずつ差が開いた数列。

数学ではこのような数列を等差数列と言います。場合、初めの数字と終わりの数字さえわかっていれば簡単に合計を出すことができます。

 

数列では数列内の数字のことを項と呼び、、数列の初めの数字(初項)と終わりの数字(末項)を足して、項の数だけ掛けてやり、2で割れば求める値が出てきます。

 

例題を出します。

1,2,3,……8,9,10という数列があります。

この合計値を仮にAとしましょう。

 

A=1+2+3+……8+9+10

となります。ここで足し算の順番を入れ替えます。

 

A=10+9+8+……3+2+1

とします。勿論順番を入れ替えたからと言ってAの値が変わるわけではありません。

 

そしてこの二つの式を足します。 

 

(A+A)=(1+10)+(2+9)+(3+8)+……(8+3)+(9+2)+(10+1)

  2A=11+11+11+……11+11+11

となります。ここで11は項の数だけあるというのが分かると思います。

なので右辺の合計は11×10=110

後は両辺を2で割れば、Aの値が55であることが求まります。

 

全ての等差数列は上記のように初項と末項の合計を項の数だけ掛けた後2で割れば求めることができるのです。

 

閑話休題

というわけで等加速度運動時の総移動距離は、

{(20+50)/2(km/h)}×0.5(h)=17.5(km)となります。

 

{}の内側の式が、等差数列の和の式になります。

分かっている人には何を今さらと思うかもしれませんが、(20+50)/2は、平均の速度を示しています。等加速度運動のみの場合ですが、初速と最終速度を足して2で割れば平均の速度が出てきます。

色々回りくどく書きましたが、こんな簡単な式で求めることができます(汗)。

等速度運動は言うなれば、平均の速度が最初から分かっている状態ですからね。

平均の速度さえ求まれば、移動距離は簡単に求められます。

 

等速度運動の場合、速度が定数なので、計算も簡単なのですが、等加速度運動の場合、速度も時間によって変わる変数になるので注意が必要になります。

 

慣性系と非慣性系

前回の記事でも書きましたが、慣性系と等速度運動の関係性は非常に深いものです。

地球が等速度運動をしているおかげで、我々は慣性系に存在し、運動の法則を利用することができるのです。

じゃあ等加速度運動ではダメなのか?という疑問を持つ方も居られるのでは(僕は持った)。

結論から言うと、ダメです

等加速度運動の場合、正か負か分かりませんが速度が変化しています。速度が変化しているということは、外部から何らかの力を受けているということになります

これは絶対です。力を受けなければ速度が変わることはありません。車もアクセルを踏まなければ、空気抵抗と地面との摩擦という力によって減速します。坂道の場合は本来下向きの重力が横の力に変化して加速していきます。

先程の等加速度運動の車に乗ったとしましょう。その移動中に車からボールを上空に投げたとします。ボールは十秒間宙に浮いていたとします。

その十秒間の間で、貴方とボールの間には10km/hもの速度差が生まれました。車に乗っているならばエンジンによって加速されますが、宙にいて力を受けていないボールは、ボールを投げた瞬間の速度でしかないのです。当然、ボールは投げ手の元へ戻ってくることもなく、10km/hの差だけ前に進んだあなたの後ろに落ちてきます。

 

外部から力が加わってないのに、まるで減速したように見えるこの状態は、もちろん非慣性系になります。

物理では観測者は、あくまで定点であることが求められるのです。

 

まとめ

  • 平均の速度を求めれば移動距離はカンタン。
  • 観測する側は動いちゃダメ、ゼッタイ。

運動の法則:普通っぽいけど、意外と重要

4.運動の法則との関連

単位にもなったニュートンさんは、運動の法則というものを見つけました。法則は3つあるのですが、これはニュートン運動方程式と大きく関連しているので、紹介と説明をしていきます。

 

第一法則(慣性の法則

『物体が慣性系にあるとき、その物体は外部から力を加えられない限り、静止した物質は静止し続け、運動しているときは等速直線運動を続ける

以上が運動の法則の第一法則(慣性の法則とも言う)を表したものです。

固い文章かつ、分かりづらい言葉があるので、噛み砕いていきたいと思います。

 

まず慣性系とは?

本当に噛み砕いていえば、その物体が存在する空間の速度が一定であるということです。

厳密には違うのでしょうが、自分はそういう認識でした。

 

例えば、Aさんが時速100kmの車に乗っているとします。Aさんがお手玉をしているとき、ブレーキが掛かって80kmに減速しました。その時、お手玉はどうなるでしょうか?

もし手の中に玉があればボールはそのまま収まっているでしょうが、空中に玉があるならばボールは自分から見て前方に落ちることになるでしょう。

これをAさんの視点から見ると、ボールには何の力も働いていないのに、前に進んで落ちたということになります。

しかし車の外でBさんがこの状況を見ていると、ボールは何の問題もなく、ただ放物線を描いて落ちただけに写るでしょう。

つまりAさんの視点では、外部から何の力(F)も果たらなかったのにボールが動いてしまったので、慣性系ではない(非慣性系)と言えるのです。

視点が違うだけで、異なる結果が生まれてしまったのです。

 

これは実はとんでもないことなのです。

もし地球の自転速度が頻繁に変わるのなら、真上に投げたものがずれて落ちてしまうということなのです。

車の速度の変化はすぐ気付くことができるでしょうが、地球の速度はそう簡単ではないでしょう。

幸いにして地球は(近似的に)慣性系なので助かりましたが。

 

以上の事から、視点と対象となる物体が同じ移動速度の空間にあるという条件を示しているのです。

これはそのまま後半の静止した物質は静止し続け、運動しているときは等速直線運動を続けるに繋がります。

眼の前にリンゴが置かれているとします。それは動いていないと認識していますが、もっと遠くから、この場合地球の外から見てみるとその物体は自転方向に自転速度1700kmで移動しているのです。更に加えるなら公転方向に公転速度も、です。

ですが地球上に居る僕たちはそれを認識することはありません。誰も自転や公転の影響を実感していないでしょう。

それと同じように、慣性系という条件を加えることで、物理的には本来記述しなければならない自転や公転の影響を省くことができるのです。視点もまた同じ自転や公転の影響を受けているためです。もし慣性系という条件を抜くと、静止した物体はこの地球上に存在しないことになりますから。

 

つまり第一法則を言い直すと、『視点と対象となる物体が同じ移動速度の空間にある場合、その物体は外部から力を加えられない限り静止した物質は静止し続け、運動しているときは等速直線運動を続ける』となります。

 

最悪『自転などの速度が変わらない地球は慣性系、でも乗り物に乗ると非慣性系になるかも』ということさえ抑えとけば、この第一法則は利用することができます。

 

第二法則(運動の法則)

『物体に力が働くとき、物体には力と同じ向きの加速度(a)が生まれ、その加速度は力(F)の大きさに比例し、物体の質量(m)に反比例する』

これは第二法則と呼ばれ、そのままニュートン運動方程式となります。

前回のニュートン運動方程式の回でやりました。

osyousama.hatenadiary.com

法則がそのまま式になるとは驚きですね。

 

第三法則(作用・反作用の法則)

『二つの物体の間に力が働くとき、その両方に力は働き、大きさは等しく、方向は同直線状に反対である』

これが第三法則であり、作用・反作用の法則と呼ばれています。

要は物体を押した時に感じる、押し返される力は押したときの力と等しいということを説明したのです。

この法則が働かないと、ジャンプはできませんし、ボールをキックできません。ホームランを打つなんて夢のまた夢なんです。

 

まとめ

  • 地球上は慣性系。乗り物に乗ると非慣性系になる場合あり。
  • 物体に力を加えると、加えた物質にも同じ大きさの力が働く。

今回は以上です。

ありがとうございました。

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